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Composition_modele_affine.ipynb

+%% Cell type:markdown id: tags:
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+# Composition de deux modèles de mouvement affines
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+%% Cell type:markdown id: tags:
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+L'objectif de cet exercice est de montrer que la composition de deux modèles de mouvement affine est un mouvement affine.
+Un mouvement affine est une version simplifiée du modèle quadratique.
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+Soit un champ de mouvement suivant un modèle affine, paramétré par les coefficients $a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6$, qui à tout point $(x,y)$ associe un vecteur $(u(x,y),v(x,y))$
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+$$ u(x,y) = a_{1}+a_{2}x+a_{3}y$$
+$$ v(x,y) = a_{4}+a_{5}x+a_{6}y$$
+
+qui peut s'écrire aussi $$ [u v ]^T = M . A $$
+où $$ A= [a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6]$$
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+On en profite pour montrer quelques exemples d'utilisation de la librarie de calcul symbolique python Sympy
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+%% Cell type:code id: tags:
+
+``` python
+from sympy import *
+a1,a2,a3,a4,a5,a6 = symbols('a1,a2,a3,a4,a5,a6')
+b1,b2,b3,b4,b5,b6 = symbols('b1,b2,b3,b4,b5,b6')
+x,y,u,v,z = symbols('x,y,u,v,z')
+xp,yp,xpp,ypp,up,vp = symbols('xp,yp,xpp,ypp,up,vp')
+
+# pour avoir des jolies sorties à l'écran
+init_printing(use_latex='mathjax')
+
+# premier modele de mouvement de (x,y)->(xp,yp)
+
+u=a1+a2*x+a3*y
+v=a4+a5*x+a6*y
+xp=x+u
+yp=y+v
+
+# second modele de mouvement de (xp,yp)->(xpp,ypp)
+#
+
+up=b1+b2*xp+b3*yp
+vp=b4+b5*xp+b6*yp
+xpp=xp+up
+ypp=yp+vp
+```
+
+%% Cell type:code id: tags:
+
+``` python
+xpp
+```
+
+%%%% Output: execute_result
+
+    $$a_{1} + a_{2} x + a_{3} y + b_{1} + b_{2} \left(a_{1} + a_{2} x + a_{3} y + x\right) + b_{3} \left(a_{4} + a_{5} x + a_{6} y + y\right) + x$$
+    a₁ + a₂⋅x + a₃⋅y + b₁ + b₂⋅(a₁ + a₂⋅x + a₃⋅y + x) + b₃⋅(a₄ + a₅⋅x + a₆⋅y + y)
+    + x
+
+%% Cell type:code id: tags:
+
+``` python
+ypp
+```
+
+%%%% Output: execute_result
+
+    $$a_{4} + a_{5} x + a_{6} y + b_{4} + b_{5} \left(a_{1} + a_{2} x + a_{3} y + x\right) + b_{6} \left(a_{4} + a_{5} x + a_{6} y + y\right) + y$$
+    a₄ + a₅⋅x + a₆⋅y + b₄ + b₅⋅(a₁ + a₂⋅x + a₃⋅y + x) + b₆⋅(a₄ + a₅⋅x + a₆⋅y + y)
+    + y
+
+%% Cell type:code id: tags:
+
+``` python
+# les ecritures ci-dessous ne font pas bien apparaitre qu'il s'agit d'un modele affine
+# donc on va developper par rapport aux b_i puis factoriser par rapport a x et y
+# pour faire plus clairement apparaitre les modeles affine
+
+xpp_expand = xpp.expand(basic=True)
+ypp_expand = ypp.expand(basic=True)
+xpp_factorized = collect(xpp_expand,x) # factorisation par rapport a x
+xypp_factorized = collect(xpp_factorized,y)  # on enchaine par une factorisation par rapport a y
+ypp_factorized = collect(ypp_expand,y) # factorisation par rapport a y
+yxpp_factorized = collect(ypp_factorized,x)  # on enchaine par une factorisation par rapport a x
+```
+
+%% Cell type:code id: tags:
+
+``` python
+xypp_factorized
+```
+
+%%%% Output: execute_result
+
+    $$a_{1} b_{2} + a_{1} + a_{4} b_{3} + b_{1} + x \left(a_{2} b_{2} + a_{2} + a_{5} b_{3} + b_{2} + 1\right) + y \left(a_{3} b_{2} + a_{3} + a_{6} b_{3} + b_{3}\right)$$
+    a₁⋅b₂ + a₁ + a₄⋅b₃ + b₁ + x⋅(a₂⋅b₂ + a₂ + a₅⋅b₃ + b₂ + 1) + y⋅(a₃⋅b₂ + a₃ + a₆
+    ⋅b₃ + b₃)
+
+%% Cell type:code id: tags:
+
+``` python
+yxpp_factorized
+```
+
+%%%% Output: execute_result
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+    $$a_{1} b_{5} + a_{4} b_{6} + a_{4} + b_{4} + x \left(a_{2} b_{5} + a_{5} b_{6} + a_{5} + b_{5}\right) + y \left(a_{3} b_{5} + a_{6} b_{6} + a_{6} + b_{6} + 1\right)$$
+    a₁⋅b₅ + a₄⋅b₆ + a₄ + b₄ + x⋅(a₂⋅b₅ + a₅⋅b₆ + a₅ + b₅) + y⋅(a₃⋅b₅ + a₆⋅b₆ + a₆
+    + b₆ + 1)
+
+%% Cell type:markdown id: tags:
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+Les deux expressions ci-dessus sont bien de la forme
+$$ u(x,y) = a_{1}+a_{2}x+a_{3}y$$
+$$ v(x,y) = a_{4}+a_{5}x+a_{6}y$$
+
+donc prennent bien la forme de modeles affines
+
+%% Cell type:code id: tags:
+
+``` python
+```